Sistemas de ecuaciones de 3×3

En temas de Álgebra se emplean los sistemas de ecuaciones, los cuales son usados para resolver problemas donde se presentan incógnitas en cierta cantidad de ecuaciones. Para que pueda ser denominado sistema de ecuaciones es necesario que cuente con una cantidad igual de incógnitas que de ecuaciones, es decir, una ecuación por cada incógnita del problema.

Para resolver un sistema de ecuaciones existen varios métodos, en el siguiente video se muestra una forma de resolver un sistema de ecuación de 3×3:

Además, existen páginas en línea que nos ayudan a resolver sistemas de ecuaciones, donde con solo introducir las ecuaciones nos regresa los valores de los coeficientes. Un ejemplo de ello es la página www.wolframalpha.com, donde puedes resolver gran cantidad de problemas matemáticos, solo es necesario introducir lo que se desea realizar.

C01_16_05_05_01

Por ejemplo, si se desea resolver un sistema de ecuaciones se introduce el siguiente texto: solve {…} , donde dentro de los corchetes se ubicará el sistema que se desea resolver. Si se quisiera resolver el siguiente sistema:

2x + 3y = 4

5x – 2y = -9

Se introduciría el siguiente comando: solve {2x + 3y = 45x – 2y = -9}  generando así el siguiente cuadro:

C01_16_05_05_02

En cambio, si se tuviera un sistema de ecuaciones de 3×3, tal como el siguiente ejemplo:

2x – y – 4z = 12

3x – 4y + 2z = -11

-5x + 2y – z = 2

Solo se introduciría el siguiente comando: solve {2x – y – 4z = 123x – 4y + 2z = -11-5x + 2y – z = 2}, resultando el siguiente cuadro:

C01_16_05_05_03

Fuente

asesoriasdematecom. (s.f.). YouTube. Recuperado el 12 de abril de 2013, de http://www.youtube.com: http://www.youtube.com/watch?v=1B1ubkR5jyo

Alex Zevallos (7 de octubre 2011). Vitutor. Recuperado el 12 de abril de 2013, de http://profe-alexz.blogspot.mx/:

http://profe-alexz.blogspot.mx/2011/10/resolver-sistemas-de-ecuaciones-online.html

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Tipos de rectas

Para esta sesión se trabajará con rectas paralelas y perpendiculares.

Dos rectas paralelas son aquellas que comparten la misma pendiente, ya que por más que estas se prolonguen conservarán la misma separación entre ellas.

C01_16_04_06_01

En cambio, las rectas perpendiculares son aquellas que se intersectan entre sí, resultando en cuatros sectores con una separación de 90°.

C01_16_04_06_02

En el siguiente vídeo se muestra una forma sencilla para trazar en papel rectas perpendiculares, usando, regla y compás, te invito a observarlo con atención y ver que es muy sencillo.

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Funciones trigonométricas.

Al trabajar con ángulos es común emplear funciones trigonométricas. Las más usadas son:

C01_16_04_04_01

Cada una de estas debe su valor a la relación que existe en los lados de un triángulo rectángulo. Siempre y cuando tan solo se tome un ángulo como referencia. Tal como se muestra en la siguiente imagen:

C01_16_04_04_02
Algunos ejemplos de funciones trigonométricas se muestran en la siguiente tabla:

C01_16_04_04_03

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Ecuación de la circunferencia.

Existen muchos lugares geométricos, pero en este caso se explicará uno que se caracteriza por ser simétrico a ambos ejes. Se analizará la circunferencia.

C01_16_01_07_01

La ecuación característica de la circunferencia es la siguiente:

               x2 + y2 = r2

Donde:

  • x: Es la posición en el eje x.
  • y: Es la posición en el eje y.
  • r: Es la longitud del radio.

Además cuenta con dos elementos importantes:

  • El centro es el punto del que equidistan todos los puntos de la circunferencia.
  • El radio es la recta que nace del centro hacia cualquier punto de la circunferencia.

En ocasiones el centro de una circunferencia no es necesario que se encuentre en el centro, sino que puede ubicarse fuera del origen. Tal como el siguiente caso:

C01_16_01_07_02

Cuando la circunferencia se ubica fuera del origen su ecuación cambia, debido a que su centro ha sido desplazado, resultando así en la siguiente ecuación que genera la circunferencia:

               (x-h)2 + (y-k)2 = r2

Donde:

  • h: Es el valor de x del centro.
  • k: Es el valor de y del centro.

 

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Ecuación de la parábola.

Existen muchos lugares geométricos, pero en este caso se explicará uno que se caracteriza por ser simétrico a un eje. Se analizará la parábola.

C01_16_01_06_01

La ecuación característica de la parábola es la siguiente:

y = mx2 + b

Donde:

  • x: Son los valores que toma.
  • b: Es la distancia hacia el origen.
  • m: Es el valor de la pendiente.
  • y: Es el valor que toma por cada valor de x.

Además cuenta con tres elementos importantes.

El vértice es el punto en el que la parábola cambia de dirección.

La directriz es la línea perpendicular al eje simétrico de la parábola y que todos los puntos de la parábola equidistan de la directriz al foco.

El foco es punto que sirve como guía para saber hacia donde se formará la parábola.

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Hipérbola

En esta clase continuaremos con una nueva figura cónica, para lo cual retomaremos lo que sabemos de ellas.

A continuación se muestra un video de como se originan las figuras cónicas.

 

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Ángulo de inclinación de una recta

En esta sesión nos centraremos en el estudio, de las diversas ecuaciones de la recta, incluyendo aquellas donde se involucre el ángulo de inclinación de la pendiente.

Calcular el ángulo de inclinación de una recta es sencillo, ya que se encuentra implícito en el valor de la pendiente, solo es necesario auxiliarse de la función trigonométrica arcotangente. Si se obtiene la arcotangente de la pendiente obtendremos como resultado el valor de la inclinación de la pendiente.

Para dar un ejemplo gráfico consulta el siguiente vídeo con información sobre las características del ángulo de inclinación:

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Punto medio

En esta sesión se hablará sobre la localización del punto medio entre dos puntos de una recta, por lo cual para ello mencionaremos una aplicación que tendrá este conocimiento.

Cuando se trabaja con líneas rectas se sabe que ellas se pueden intersectar, a las cuales se les conoce como líneas oblicuas. Las oblicuas se dividen en dos categorías: secantes y perpendiculares. Las perpendiculares son aquellos que al cruzarse crea cuatros segmentos de 90 grados, mientras que las secantes no forman nada.

Dentro de las líneas perpendiculares hay una que se caracteriza por pasar por el punto medio y ser perpendicular al segmento.

En el siguiente video puedes aprender como encontrar la mediatriz de un segmento solo empleando un compás.

 

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Instrumentos de medición

Durante esta sesión se abordará el cálculo de distancia entre dos puntos, por lo tanto en esta entrada hablaremos de como medir distancias en la vida real.

Desde pequeños hemos aprendido a medir distancias con varios instrumentos, tal es el caso de la regla, el cual usualmente lo podemos encontrar en centímetros o pulgadas.

Regla

Además de la regla, para medir distancias un poco más grandes contamos con el flexómetro, el cual al igual que la regla puede medir en centímetros y pulgadas, solo que en el caso del flexómetro puede medir hasta metros, ya que se especializa en distancias más largas.

Flexómetro

Pero cuando se quieren medir distancias más largas se emplea el odómetro. Este dispositivo se encuentra comúnmente en los automóviles, cerca al indicador de velocidad, y nos permite conocer la distancia recorrida del vehículo.

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El odómetro tiene una variante que puede ser usado para medir largas distancias, el cual se le conoce como odómetro con ruedas. Su funcionamiento es muy sencillo, simplemente se hace girar la rueda por donde deseamos medir y el odómetro nos indicara la distancia recorrida.

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Fuente

Schorsch, G. W. (29 de Septiembre de 2005). Wikimedia Commons. Recuperado el 20 de Febrero de 2013, de http://commons.wikimedia.org/: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Speedometer_Odometer.jpg

Suricata. (21 de Noviembre de 2005). Wikimedia Commons. Recuperado el 20 de Febrero de 2013, de http://commons.wikimedia.org: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:MessradSuricata.jpg

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Intersección de ejes.

Durante esta sesión se abordará la intersección de ejes en el plano cartesiano, por lo cual será conveniente repasar en lo que consiste la ecuación de la recta y cada uno de sus componentes.

La ecuación de la recta es la siguiente:

y = mx + b

Donde:

y= Representa la variable dependiente. Es decir, su valor depende del que tomará x.

m = Representa la pendiente. Nos indica que tanto avance existe en y por cada avance en x.

x = Representa la variable independiente. Es a la que le asignamos el valor que se desee o necesite.

b  = Representa la distancia al origen. Cuando x = 0, b representa el valor que tomará Y cuando la recta intersecte el eje de las y.

Al graficar, si conocemos la ecuación de la recta, podemos conocer por donde intersectará los ejes. Por ejemplo, en y = 2x + 5, se aprecia que esta recta intersecta el eje y en 5.

En cambio, si la ecuación de la recta es y = 2x, como no tiene valor de b, indica que intersectará el eje de las y por el origen.

Puedes ver el efecto de diferentes valores de m (la pendiente) y de b (la intersección y) en Explora el gráfico de una línea recta.

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